Trabajos de grado Maestría investigativa en Matemáticas

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Perspectivas categóricas en Deep Learning sobre estructuras topológicas de redes de grafos a complejos combinatorios
(Universidad del Norte, 2025) Rosado Gutiérrez, Pierre Alexander; Gutiérrez García, Ismael; Uribe Jongbloed, Bernardo
En las últimas décadas, la teoría de categorías ha demostrado ser una herramienta poderosa para abstraer y unificar conceptos en Matemáticas y Ciencias de la Computación. Su capacidad para describir estructuras y morfismos de manera genérica y coherente la convierte en un lenguaje para el análisis de modelos complejos. Paralelamente, el auge de las redes neuronales sobre grafos (Graph Neural Networks, GNNs) en Inteligencia Artificial ha abierto nuevas vías para procesar datos estructurados, con aplicaciones que van desde redes sociales hasta estructuras moleculares y sistemas físicos complejos. Esta tesis desarrolla un marco categórico para caracterizar, generalizar y extender las arquitecturas de deep learning sobre estructuras topológicas complejas. Más allá de una simple exposición de trabajos existentes, esta investigación aporta múltiples perspectivas categóricas que buscan comenzar a proporcionar nuevas herramientas teóricas y prácticas complementarias a las existentes para el diseño de arquitecturas neuronales más principiadas y matemáticamente fundamentadas.
Sobre una clase de problema de Dirichlet no homogéneo sobre los números p-ádicos
(Universidad del Norte, 2025) Villar Tordecilla, Teddy José; Gutiérrez García, Ismael (asesor); Torresblanca Badillo, Anselmo (asesor)
Esta tesis aborda un problema de Dirichlet no homogéneo en el contexto del análisis p-ádico. Presentamos métodos significativos que utilizan nuevos tipos de operadores no arquimedianos, específicamente operadores p-ádicos, para establecer condiciones suficientes que aseguren la existencia y unicidad de las soluciones a estos problemas. Además, examinamos la compleja conexión entre nuestros problemas de Dirichlet y ciertos operadores pseudodiferenciales, destacando su eficacia para abordar problemas de Dirichlet no homogéneos en el contexto p-ádico. Mediante un análisis matemático exhaustivo y ejemplos detallados, ilustramos la flexibilidad de nuestros problemas de Dirichlet, ofreciendo nuevas perspectivas sobre las ecuaciones diferenciales parciales p-ádicas y sus aplicaciones en diversas áreas de investigación, como la física matemática, la teoría de números y la teoría de operadores pseudodiferenciales.
Estabilidad fuerte de un problema de transmisión para un sistema barra-cuerda-barra con amortiguamientos locales en la cuerda
(Universidad del Norte, 2024) Montes Tenorio, Daniela; Hernández Monzón, Jairo; Barraza Martínez, Bienvenido
En esta sección, se presenta esta tesis titulada “Estabilidad fuerte de un problema de transmisión para un sistema barra-cuerda-barra con amortiguamientos locales en la cuerda”, la cual se centra en el análisis de la estabilidad de un sistema físico compuesto por una barra conectada a una cuerda y otra barra, donde se aplican amortiguamientos locales exclusivamente en la cuerda. El objetivo principal de este trabajo es demostrar la existencia y unicidad de soluciones para el problema abstracto asociado, así como determinar si estas soluciones son fuertemente estables. Durante el desarrollo de la investigación, se profundizó en los espacios de Sobolev y en la teoría de semigrupos, resaltando su importancia en la resolución del problema planteado. Se abordó el análisis de la existencia y unicidad de la solución, centrándose en los espacios base y la formulación débil del problema. La deducción de las condiciones de transmisión fue fundamental para comprender la estabilidad del sistema barra-cuerda-barra y garantizar un comportamiento asintótico adecuado.
Existencia y unicidad de soluciones (ω, Q)-periódicas para ecuaciones diferenciales ordinarias
(Universidad del Norte, 2024) Álvarez Rojas, Nicolás Guillermo; Álvarez Pardo, Edgardo; Grau Acuña, Rogelio
En esta tesis se demuestra la existencia y unicidad de soluciones (ω,Q)-periódicas para una clase de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se inicia con una revisión de los conceptos preliminares necesarios, incluyendo el espacio vectorial Rn y su estructura métrica. A continuación, se estudian diversos teoremas relevantes como el teorema del punto fijo de Schauder y el teorema de Picard. El resultado principal se obtiene bajo condiciones más generales y usuales en el estudio de estas ecuaciones, utilizando el teorema del punto fijo de Banach para establecer la existencia y unicidad de las soluciones. Finalmente, se presenta una aplicación práctica en el área de las redes neuronales, demostrando que el modelo de red neuronal de Hopfield cumple con las condiciones requeridas. Esta investigación proporciona una base teórica robusta y ejemplos aplicados que validan los resultados obtenidos.
Nuevas soluciones exactas de la ecuación de reacción-difusión fraccional conformable dependiente de la densidad
(Universidad del Norte, 2024) Mendoza Estrada, José Luis; Grau Acuña, Rogelio
Se obtienen nuevas soluciones exactas de la ecuación de reacción-difusión fraccionaria conformable dependiente de la densidad. Una transformación reduce la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se resuelve completamente mediante el método de λ-simetría. Se han clasificado todas las soluciones admitidas en una familia uniparamétrica de soluciones exponenciales o en una familia biparamétrica de soluciones que involucran funciones de Bessel y funciones de Bessel modificadas. Esta familia biparamétrica de soluciones exactas proporciona una rica clase de nuevas soluciones exactas que, según nuestro conocimiento a lo mejor, no se han informado antes en la literatura.
Análisis de la tasa de decaimiento exponencial de la solución de un problema de transmisión barra cuerda barra
(Universidad del Norte, 2023) Pérez Espinosa, David Alexander; Hernández Monzón, Jairo; Barraza Martínez, Bienvenido
En la actualidad se han encontrado nuevas formas de mitigar las vibraciones en estructuras elásticas gracias al desarrollo y avances en el tópico de materiales. En este trabajo de investigación se analiza matemática y numéricamente, por lo cual los cómputos realizados ayudan en la mejora de esas vibraciones y a la estabilidad exponencial (en el tiempo) de las soluciones de un problema de transmisión que modela las vibraciones transversales de una estructura barra-cuerda-barra la cual está compuesta por tres partes, con o sin la presencia amortiguamientos. Inicialmente, se presentan las ecuaciones del modelo matemático de la estructura, sus condiciones de frontera, de transmisión e iniciales. Como objetivo alcanzado, se realiza un análisis de la energía del sistema asociado a la estructura teniendo en cuenta los valores asociados a los coeficientes de amortiguamiento (aplicados en cada una de las tres partes de la estructura) y las longitudes de los intervalos que son ocupados por cada parte de la estructura. Por otra parte, se desarrolla análisis de la tasa de decaimiento exponencial de la energía del sistema, para ampliar y complementar el análisis matemático desarrollado previamente, y de esta manera comprender mejor el papel que juegan estas constantes de amortiguamiento y las longitudes de las partes de cada estructura en la tasa de decaimiento exponencial (velocidad de decaimiento) de las soluciones que modelan las vibraciones transversales. Concretamente, en este trabajo de grado se estudia el buen planteamiento y la estabilidad exponencial de las soluciones del problema de transmisión barra-cuerda-barra mencionado previamente. Para el análisis matemático del buen planteamiento del problema de Cauchy asociado al sistema se aplica la teoría semigrupos de operadores lineales fuertemente continuos en cientos espacios de Sobolev, y para la estabilidad exponencial de las soluciones el método energía Para el análisis de la tasa de decaimiento se analizan dos casos en los cuales a través de un tetraedro de respuesta como gráfico se ilustra el comportamiento de esta tasa dependiendo de las longitudes de las partes de la estructura y los valores de amortiguamiento aplicados usando la herramienta matlab.
Códigos q-arios autoduales con un automorfismos de orden primo
(Universidad del Norte, 2023) Fernández de León, Eder Hans; Cruz Cantillo, Javier de la
En la teoría clásica de códigos, los códigos autoduales juegan un papel muy importante por su rica estructura algebraica. Para ellos la distancia mínima esta acotada superiormente y se denominan extremales aquellos códigos que alcanzan dicha cota. Estos son particularmente interesantes, ya que ellos pueden corregir el mayor numero de errores entre todos los códigos autoduales. El propósito de este trabajo es analizar la estructura algebraica de un código autodual q-ario con un automorfismo de orden primo distinto a la característica del cuerpo y posteriormente con ello, dar una clasificación de todos los códigos extremales Tipo I y Tipo III de longitud 60 con un automorfismo de orden 29. Para esto hacemos uso de la descomposición del código C como la suma directa de dos subcódigos e implementamos herramientas computacionales sobre todas las posibles matrices del código. Concretamente, demostramos que existen exactamente tres [60, 30, 12] códigos extremales Tipo I y existen tres códigos extremales [60, 30, 18] Tipo III, con un automorfismo de orden 29. como la suma directa de dos subcódigos e implementamos herramientas computacionales sobre todas las posibles matrices del código. Concretamente, demostramos que existen exactamente tres [60, 30, 12] códigos extremales Tipo I y tres códigos extremales [60, 30, 18] Tipo III, con un automorfismo de orden 29.
Códigos de grupo torcidos
(Universidad del Norte, 2022) Sinning López, María Camila; Cruz Cantillo, Javier de la
En el presente trabajo abordaremos el estudio de los códigos de grupo torcidos como una generalización de los códigos de grupo. Concretamente nos centraremos en los resultados probados por de la Cruz y Willems (2021), en donde se establecen condiciones suficientes y necesarias para que un código lineal dado exista como un código de grupo torcido con relación a cierto grupo G G . En particular, demostraremos que ciertos códigos conocidos, tales como el código de Golay ternario extendido G12 𝒢12 y los códigos de Hamming pueden ser vistos como códigos de grupo torcidos.
Análisis del desempeño de autoencoders para aprender códigos lineales binarios
(Universidad del Norte, 2022) Salcedo Quintero, Carolina Andrea; Cruz Cantillo, Javier de la; Villanueva Polanco, Ricardo
El trabajo de grado se centra en el área de las redes neuronales artificiales, más específicamente los autoencoders. Se presenta un estudio sobre la capacidad de autoencoders simétricos de aprender códigos lineales binarios. Se llevó a cabo un algoritmo para la generación de estructuras de autoencoders y sus parámetros. Se entrenaron dichas estructuras con una variedad de códigos, algunos generados de forma aleatoria y algunos códigos famosos como es el caso de los códigos de Hamming y los códigos de Golay. Para los cuales, se midió el desempeño con el binary accuracy. También se sometieron los autoencoders a codewords con errores. El desarrollo se hizo con una combinación de liberías de Python y de GAP. La evidencia muestra que los autoencoders efectivamente son capaces de aprender códigos lineales binarios, obteniendo valores de binary accuracy por encima de 80%.
Método de discretización mimética aplicado a la solución numérica de problemas de frontera para la ecuación de Poisson
(Universidad del Norte, 2022) Guerra Díaz, Andrés Manuel; Ospino Portillo, Jorge Eliécer
En este trabajo se pretende estudiar métodos de discretización mimética de orden 2, 4, 6 y 8, basados en los operadores de diferencias miméticos de Castillo-Grone [1,2,3,4,10,13], aplicados a la solución numérica de problemas de frontera para la ecuación diferencial de Poisson unidimensional y bidimensional sobre una cuadrícula uniforme.
Soluciones periódicas de segunda especie para una clase de ecuaciones de evolución de tipo fraccionario
(Universidad del Norte, 2022) Meriño de Moya, Ricardo Andrés; Álvarez Pardo, Edgardo; Grau Acuña, Rogelio
Como trabajo de grado para la Maestría en Matemáticas, se considera estudiar un problema de una ecuación diferencial de tipo fraccionario. Se busca demostrar la existencia y unicidad de la solución para el problema Dt^α u(t)+Au(t)=f(t,u(t))+Ku(t), tεR, donde la derivada fraccionaria es la de Caputo, 0<α<1, -A es un generador infinitesimal de un semigrupo analítico en un espacio de Banach, f, g son funciones continuas y Ku es una ecuación integral con respeto a una función continua k. Es de nuestro interés que la solución del problema sea una función periódica de segunda especie o (ω,c)-periódica, por lo cual haremos uso de la teoría de semigrupos analíticos, potencias fraccionarias de operadores lineales y funciones de Mittag-Leffler y de Wright.
Un problema de transmisión para un Sistema Barra-Banda-Barra con amortiguamientos locales
(Universidad del Norte, 2021) Guerrero Torres, Carlos Javier; Barraza Martínez, Bienvenido; Hernández Monzón, Jairo
Como trabajo de grado para la Maestría en Matemáticas, se considera estudiar el buen planteamiento y estabilidad exponencial de un problema de transmisión en un sistema barra-banda-barra con amortiguamientos locales. Se busca entonces mostrar resultados de existencia y unicidad de soluciones para el problema planteado en el Capítulo 1 y resultados relacionados a su estabilidad exponencial usando teoría de ecuaciones diferenciales parciales, en particular se utiliza el enfoque de semigrupos fuertemente continuos sobre ciertos espacios de Sobolev para el buen planeamiento y el método de la energía para la estabilidad exponencial. El trabajo de grado está organizado de la siguiente manera. En el Capítulo 1, se realiza la descripción al problema de transmisión junto con sus condiciones de transmisión y de frontera. En el Capítulo 2, se presentan conceptos y resultados preliminares de la teoría de análisis funcional y de la teoría de semigrupos de operadores. En el Capítulo 3, se muestra como un resultado importante que, para este tipo de estructura el problema de Cauchy asociado posee una única solución y esta depende continuamente de los datos iniciales. En el Capítulo 4, se presenta como resultado principal que, para este tipo de estructura la solución del sistema asociado presenta un decaimiento exponencial si los amortiguamientos se aplican de forma total en cada pieza que la conforma.
Cotas superiores para códigos extremales
(Universidad del Norte, 2011) Ochoa Garcés, Vanessa Paola; Gutiérrez García, Ismael
Los códigos auto-duales son de gran importancia en la teoría de códigos ya que muchos de los más reconocidos códigos se caracterizan por ser de este tipo. Además, detrás de estos existe una teoría matemática amplia. C.L. Mallows y N.J.A. Sloane obtuvieron, utilizando la teoría de invariantes, cotas superiores para la distancia mínima d y la longitud n de códigos auto-duales. Dichas cotas son llamadas las cotas de Mallows-Sloane. Sin embargo, Iwann Duursma utilizó otro método para obtener exactamente las mismas cotas y de forma mucho más sencilla. Lo hizo utilizando la divisibilidad de polinomios y trabajando con sus grados. Su trabajo lo publicó en el 2001 en un documento titulado "Polinomios enumeradores de pesos de códigos extremales y ultraesféricos". Es un interesante trabajo, pero se encuentra incompleto. El objetivo de mi tesis es, precisamente, detallar el método utilizado por Duursma y utilizar toda esta teoría para verificar las cotas superiores de Zhang Yuan-Sheng.
Existencia y unicidad de solución para un problema de cauchy semilineal
(Universidad del Norte, 2012) Torres Peña, Roberto Carlos; Barraza Martínez, Bienvenido; Hernández Monzón, Jairo
El presente trabajo es de tipo monográfico en el cual se exponen los resultados obtenidos por H. Aman en su artículo de 1995 a cerca de la existencia y unicidad de soluciones para un problema de Cauchy semilineal, mostrando los cálculos y estimativos necesarios para dicha prueba. Es importante resaltar que, como aporte de este trabajo se ponen a la luz los detalles de la prueba de existencia y unicidad de soluciones para el correspondiente problema lineal.
Un problema de transmisión de dos barras delgadas acopladas con una banda elástica
(Universidad del Norte, 2019) Vergara Rolong, Gustavo Antonio; Hernández Monzón, Jairo; Barraza Martínez, Bienvenido
Debido a su amplio uso en la ingeniería, específicamente en la ciencia de los materiales e ingeniería civil y automotriz, las placas y las membranas son elementos importantes a la hora de construir una estructura con deformaciones, deflexiones, vibraciones pequeñas o que sean estables bajo perturbaciones. Motivado por lo anterior, se decidió formular un problema en el caso unidimensional, es decir, problema consistente en dos barras delgadas acopladas con una banda elástica. El objetivo principal de este trabajo es demostrar el buen planteamiento del problema, esto es, la existencia y unicidad de la solución, como también su dependencia continua de los datos iniciales. Para esto se utilizará la teoría de semigrupos fuertemente continuos y los espacios de Sobolev. Primero se planteó el problema abstracto de Cauchy con las ecuaciones que modelan el problema, junto con las condiciones iniciales. En el espacio de Sobolev base se agregaron las condiciones de frontera y una de las condiciones de transmisión. Por último se definió un dominio adecuado para el operador asociado al problema abstracto de Cauchy. Con todo el problema ya estructurado se mostró que las hipótesis del Teorema de Lumer-Philips se cumplían por lo que el operador asociado a nuestro problema generaba un semigrupo que cumplía ciertas condiciones. Lo anterior permitió establecer que el problema presenta una solución que además de ser única, dependía continuamente del dato inicial.
Modelación directa para la determinación no destructiva de la conductividad eléctrica de materiales compuestos utilizando métodos miméticos
(Universidad del Norte, 2020) Guerra Garay, Andrés Javier; Ospino Portillo, Jorge Eliécer; Dumett Canales, Miguel Ángel
En este trabajo se pretende estudiar la sensibilidad de un modelo matemático de tomografía de resistividad eléctrica con respecto a los parámetros de conductividad de un material compuesto utilizando operadores gradiente y de divergencia miméticos de órdenes 2,4,6 y 8. Basados en diferencias finitas (Corbino-Castillo [15,19], Castillo Grone [1,3,10]), aplicados a la solución numérica de problemas de frontera para la ecuación de conductividad anisotrópica para el caso bidimensional sobre una cuadrícula uniforme. Se utiliza el programa de Matlab para poder desarrollar la solución al sistema lineal gracias a los operadores gradiente y divergencia. Las utilidades de estos, son extraordinarias por la facilidad que muestran para lograr que de una ecuación diferencial parcial se obtenga una transformación a un sistema Lineal, que normalmente puede hacerse por métodos prácticos bastante conocidos.
Formulación, deducción e implementación de métodos Runge-Kutta-Nyström implícitos de alto orden para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
(Universidad del Norte, 2020) Teherán Olmos, Juan Diego; Ospino Portillo, Jorge Eliécer; Dumett Canales, Miguel Ángel
Este trabajo tiene como objetivo principal deducir y construir un método Runge-Kutta-Nystrom implícito de alto orden. Para llegar a esto primero hacemos un repaso de los conceptos básicos de una ecuación diferencial y sistemas de ecuaciones diferenciales al igual que de los métodos numéricos. Posterior a ello, estudiamos más a fondo los métodos numéricos Runge-Kutta. Aquí abordamos temas de orden, series de Butcher, árboles monótonamente ordenados, hipótesis simplificadoras y construcción de los métodos RK tanto explicito como implícito. Una vez cumplido esto, nos enfocaremos en introducir los métodos Runge-Kutta-Nystrom (RKN). Su función principal es resolver numéricamente ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Aquí estudiamos la convergencia global, las condiciones de orden, la representación gráfica de las derivadas sucesivas, las hipótesis simplificadoras de estos métodos, para posteriormente junto con todas las herramientas recolectadas realizar la construcción del método implícito. Por último, se realizan experimentos numéricos con los métodos RKN ya publicados para contrastarlos con los resultados obtenidos con el método construido y de esa forma evaluar su comportamiento.
Códigos de grupos LCD y LCP
(Universidad del Norte, 2019) Salina Cassiani, Cristian David; Cruz Cantillo, Javier de la
El objetivo central de este trabajo de grado es analizar los resultados dados en [On group codes with complementary duals. Designs, Codes and Cryptography 86, 9 (2018), 2065-2073 (J. de la Cruz and W. Willems.)] y [A Note on Linear Complementary Pairs of Group Codes. arXiv preprint arXiv:1907.07506 (2019 https://arxiv.org/pdf/1907.07506 .pdf) (J. De La Cruz, M. Borello, and W. Willems.)], sobre códigos de grupo LCD y LCP, completando con todo detalle cada una de las pruebas. El trabajo de grado está organizado de la siguiente manera. En el Capítulo 1, se estudian conceptos preliminares de la teoría de anillos, la teoría de cuerpos, la teoría clásica de códigos y la teoría de módulos. En el Capítulo 2, estudiamos resultados fundamentales de KG-módulos y códigos de grupos. En el Capítulo 3, estudiamos códigos LCD en Kn y códigos de grupo LCD. En esta parte se analizan condiciones necesarias y suficientes para que un código sea un código de grupo LCD. Finalmente, en el Capítulo 4 presentamos los códigos de grupo LCP.
Métodos de elementos finito conformes y no conformes para un problema de corrientes de Foucault en régimen armónico
(Universidad del Norte, 2018) Barrios Garizao, Ronald José; Domínguez Catalina
La descripción cuantitativa de los fenómenos físicos son unos de los objetivos establecidos en ciencias e ingeniería. En lo que compete a los fenómenos eléctricos y magnéticos, en 1873 el físico escocés James Clerk Maxwell desarrolló la teoría electromagnética clásica, sintetizando la ley de Gauss para la electricidad, la ley de Gauss para magnetismo, la ley de Faraday y la ley de Ampere; así que la teoría eléctrica y magnética fue escrita en un solo sistema de ecuaciones conocidas como Ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones se caracterizan por predecir que los campos magnéticos variables generan campos eléctricos y recíprocamente, los campos eléctricos variables generan campos magnéticos (ver [21], [16]). De lo anterior, se presenta el siguiente sistema para una posición x ? R 2 y un tiempo t = 0 ? B ? t + rot E = 0 , Ley de Faraday.
Análisis e implementación de métodos de descomposición de dominio para un problema de Stokes
(Universidad del Norte, 2015) Vellojín Mattos, Jesús Adolfo; Prato Torres, Ricardo A.
Esta tesis desarrolla los métodos de descomposición de dominio para resolver problemas de Poisson y de Stokes, haciendo énfasis en los problemas de Stokes. Estos se abordan desde un punto de vista clásico, exponiendo su formulación variacional y su respectiva equivalencia a una forma acoplada que se resuelve utilizando los métodos iterativos propios de la descomposición de dominio. Se determinan cotas, errores y tasas de convergencia de acuerdo a las formulaciones variacionales para Poisson y Stokes. Luego, se muestra la aproximación por elementos finitos y la implementación de los algoritmos usando rutinas de Matlab con los cuales se verifican los resultados teóricos.

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